Utkany z czasu i przestrzeni

Michał Heller w książce „Ostateczne wyjaśnienia wszechświata” zauważa, że w ludziach drzemie tajemniczy instynkt rozumienia. Niedające zaspokoić się pragnienie, „żeby nie było nic, co by nie pozostawało bez racji, i to racji usuwającej wszelki niepokój wątpienia”. Dręcząca konieczność, by zlikwidować jakikolwiek cień podejrzenia, iż świat mógłby być skonstruowany inaczej, niż sądzimy. Sukcesy współczesnej fizyki utwierdzają nas w przekonaniu, że w spełnieniu wielowiekowego snu o teorii ostatecznej kluczową rolę powinna odgrywać matematyka. A zwłaszcza – geometria.

Rzeczy wieczne

Pogląd, że geometria to wiedza o tym, co istnieje wiecznie, przypisuje się Pitagorasowi, ale myślę, że podpisałoby się pod nim wielu współczesnych fizyków. Być może to zwykła skłonność ludzkiego umysłu, ale studiując trójkąt narysowany na piasku, szczególnie łatwo dostrzec związek pomiędzy światem rzeczywistym a wiecznym światem matematycznych bytów. Prawdopodobnie to właśnie dlatego próby objaśnienia świata za pomocą geometrii od wieków wydawały się szczególnie atrakcyjne.

Nad wejściem do Akademii Platońskiej miał się znajdować napis: „Niech tutaj nie wchodzi nikt, kto nie zna geometrii”. Platon żądał, aby pięcioletnie studia filozoficzne poprzedzić aż dziesięcioletnimi studiami geometrii. Według Galileusza literami, za pomocą których napisano „księgę Wszechświata”, są trójkąty, koła i inne figury geometryczne. Kepler, próbując odgadnąć wzorzec, według którego Bóg stworzył Wszechświat, zaproponował (pomysłowy, choć fałszywy) model Układu Słonecznego zbudowany na podstawie pięciu brył platońskich. Przykłady takie można by mnożyć.

Geometria kojarzy się nam ze szkolnymi lekcjami matematyki, na których rysowaliśmy figury, porównywaliśmy kąty, wyznaczaliśmy żądane proste. To jednak wiedza sprzed dwóch tysięcy lat. Na przestrzeni ostatnich dwustu lat pojęcie geometrii uległo znacznemu uogólnieniu. Obecnie przenika ono prawie wszystkie działy matematyki.

Życie na sferze

Powierzchnia stołu jest dwuwymiarowa i płaska. Oznacza to, że suma kątów w trójkątach narysowanych na takiej powierzchni wynosi 180 stopni, stosunek obwodu okręgu do jego promienia to 2xpi, a dwie proste równoległe nigdy się nie przecinają. Te oczywiste dla nas fakty przestają być prawdziwe, jeśli zamiast powierzchni stołu rozważymy np. powierzchnię kuli.

Powierzchnia kuli jest zakrzywiona. Doświadczenie naszych zmysłów podpowiada nam, że nie ma nic niezwykłego w zakrzywionych dwuwymiarowych powierzchniach. Być może nieco mniej oczywiste jest już to, że jeśli narysujemy na powierzchni piłki dwie równoległe do siebie kreski, to jeśli zechcemy je przedłużać, w niedługim czasie się spotkają (podobnie jak południki na globusie, które przecinają się na biegunach).

Fizyczna przestrzeń, w której żyjemy, jest trójwymiarowa. Również trójwymiarowe przestrzenie mogą być płaskie lub zakrzywione. Chociaż analogia do przykładu ze stołem i kulą jest oczywista, ludzkość potrzebowała ponad dwóch tysięcy lat, aby zdać sobie z niej sprawę. Choć trójwymiarowa przestrzeń, w której żyjemy, jest zakrzywiona, to jej krzywizna w pobliżu Ziemi jest niewielka i nie ma praktycznego znaczenia dla żyjących na niej stworzeń. Nie zostaniemy zjedzeni przez drapieżnika, jeśli będziemy uciekać tak, jakbyśmy żyli w płaskiej przestrzeni. Zdrowy rozsądek, wielki wróg fizyka i wyobraźni, opierając się na świadectwie naszych zmysłów, nie chce dopuścić do naszego umysłu faktu, że przestrzeń, w której żyjemy, może się zakrzywiać.

Pytanie o krzywiznę trójwymiarowej fizycznej przestrzeni jako pierwszy najprawdopodobniej postawił publicznie rosyjski matematyk Nikołaj Łobaczewski. Aparat matematyczny umożliwiający w pełni badanie zakrzywionych przestrzeni stworzył w połowie XIX w. Bernhard Riemann. Jednak żeby uczynić z geometrii narzędzie dające nadzieję na zrozumienie ostatecznych praw przyrody, potrzeba czegoś więcej. Krzywizna przestrzeni powinna stać się integralną częścią teorii fizycznej, a nie tylko możliwością matematyczną.

Grawitacja jako zakrzywienie

W 1905 r. Einstein sformułował szczególną teorię względności. Wynika z niej, że czas nie jest absolutny, lecz dla dwóch różnych obserwatorów może upływać w odmiennym tempie. Trzy lata później Herman Minkowski wygłosił w Kolonii słynny odczyt, w którym przedstawił geometryczną interpretację teorii Einsteina. W referacie pojawiło się prorocze zdanie: „Odtąd pojęcia samodzielnej przestrzeni i samodzielnego czasu odchodzą całkowicie w cień, a tylko swego rodzaju ich połączenie zachowa niezależny sens”. Wbrew świadectwu naszych zmysłów pojęcia czasu nie sposób rozważać osobno od pojęcia przestrzeni. Sens fizyczny ma obiekt złożony z obu tych pojęć, tzw. czasoprzestrzeń.

Einstein początkowo był sceptyczny co do interpretacji jego teorii przedstawionej przez Minkowskiego. Szybko jednak przekonał się, że Minkowski ma rację, i zaczął nadrabiać matematyczne braki. Na efekty jego pracy nie trzeba było długo czekać. Rok 1915 przyniósł światu nową teorię grawitacji: ogólną teorię względności. Prawie sto lat wcześniej Łobaczewski zaproponował, że trójwymiarowa przestrzeń fizyczna może się zakrzywiać. Einstein odkrył, iż aby uczynić z tej hipotetycznej możliwości integralną część fizyki, należy rozważyć zakrzywienie nie trójwymiarowej przestrzeni, lecz czterowymiarowej czasoprzestrzeni. Co najważniejsze, podał przy tym równania, które określają, w jaki sposób czasoprzestrzeń wygina się pod wpływem znajdującej się w niej masy i energii. Grawitacja w ujęciu Einsteina nie jest tajemniczą siłą działającą pomiędzy dwoma ciałami. Masa Słońca zakrzywia czasoprzestrzeń i to zakrzywienie determinuje ruch Ziemi oraz pozostałych planet.

Jajko mądrzejsze od kury

Równania ogólnej teorii względności (zwane dalej równaniami Einsteina) są bardzo skomplikowane. Ich struktura i rozwiązania są przedmiotem badań prowadzonych do dzisiaj. Wiedza astronomiczna w 1915 r. była całkowicie nieadekwatna do wizji świata wynikającej z tych równań. Nikt nie był przygotowany na istnienie czarnych dziur, fal grawitacyjnych, ekspandującego Wszechświata. Również Einstein nie mógł przez wiele lat uwierzyć, że rzeczywistość wygląda tak, jak wynika to z jego równań.

Jednym z niepokojących Einsteina faktów była obserwacja, iż czas i przestrzeń (czasoprzestrzeń) uzyskały w jego teorii sens niezależny od wypełniającej świat materii. Oczekiwano, iż pusta czasoprzestrzeń będzie płaska, tzn. że jest czaso- przestrzenią odkrytą przez Minkowskiego. Okazało się, że energia może zostać uwięziona w zakrzywieniu czasoprzestrzeni. Mogą istnieć obiekty, które dosłownie składają się z ,,niczego”. To odkrycie przedefiniowało nasze rozumienie tego, co to znaczy istnieć. Czas i przestrzeń mogą tworzyć nietrywialne konfiguracje, które dla odległego obserwatora wyglądają jak obiekty zbudowane z materii. Nawet obecnie dla osób, które widziały niejeden film science fiction, brzmi to niesamowicie. Sto lat temu, w czasach gdy nie wiedziano, że istnieją inne galaktyki, a wizję kosmosu kształtował film „Lot na Księżyc” Georges’a Mélièsa, taka możliwość była trudna do zaakceptowania. Współcześnie wiemy, iż obiektami tego typu – będącymi „po prostu” zakrzywieniem czasoprzestrzeni – są czarne dziury. Ich istnienie jest potwierdzone przez liczne obserwacje astronomiczne. Od 2015 r. dokonujemy detekcji fal grawitacyjnych (zmarszczek czasoprzestrzeni) powstających w zderzeniach czarnych dziur. W kwietniu ubiegłego roku po raz pierwszy zaprezentowano radiowy obraz gigantycznej czarnej dziury ze stosunkowo bliskiej galaktyki M87.

Obraz świata

Każda epoka tworzy swój własny obraz rzeczywistości – wyobrażenie na temat tego, czym jest świat. Obraz ten, zarysowany w umysłach większości z nas, przeważnie nie uwzględnia aktualnego stanu wiedzy. Przypuszczam, że obecnie w zbiorowej wyobraźni ciągle dominuje mechanicyzm (natura to mechanizm, zbiór materialnych elementów w ruchu), który w nauce królował w początkach XIX w. Wyobrażenie to uzupełniamy, ugruntowaną później, koncepcją atomów oraz strzępkami XX-wiecznej fizyki.

Obecnie nauka proponuje jednak inną, tzw. teoriopolową wizję rzeczywistości. Nie jesteśmy zbudowani z małych materialnych elementów, niczym figurka z klocków Lego. Dla współczesnego fizyka świat to geometryczna scena zakrzywionej i dynamicznej czasoprzestrzeni, którą wypełniają rozmaite ,,pola kwantowe” o określonych symetriach. Koncepcja ,,pola kwantowego” jest trudna do zdefiniowania bez odwoływania się do matematyki. Wystarczy dodać, że cząstki, które tworzą atomy naszych ciał, choć często przyjmują stabilne konfiguracje, to bardziej przypominają morskie fale niż małe niepodzielne elementy. Indywidualna tożsamość tych ciągle podmieniających się fal nie ma znaczenia. Liczy się ich wzajemne położenie, ich taniec.

Obecnie wiemy również, że nasza wizja świata nie jest kompletna: istnieją miejsca w czasie i przestrzeni, w których nasz obraz rzeczywistości się załamuje. Tłumaczymy świat za pomocą dwóch jakościowo odmiennych koncepcji: grawitacja ma wyjaśnienie geometryczne, a pozostałe oddziaływania, np. siła elektromagnetyczna (ta sama, która odchyla igłę kompasu i pozwala nam wygodnie rozsiąść się w fotelu), to fizyczne pola. Wierzymy, iż teoria ostateczna powinna wyjaśniać świat jako przejaw jednej matematycznej prawdy, a nie konglomerat wielu niezwiązanych matematycznych struktur.

Sytuację tą najlepiej zobrazować za pomocą równań Einsteina. Lewa strona tych równań opisuje geometrię, czyli grawitację. Prawa strona to promieniowanie i materia. To głównie one dyktują geometrii, w jaki sposób powinna się zakrzywiać. Lewa strona równań Einsteina wydaje się bardziej podstawowa. Czy nie można wytłumaczyć prawej strony na sposób geometryczny? Przykład czarnych dziur, jako obiektów posiadających masę, lecz utworzonych jedynie z czasu i przestrzeni, sugeruje, że taka próba ma sens.

W czasach, gdy powstawała teoria grawitacji Einsteina, w środowisku naukowym dominował elektromagnetyczny obraz świata. Ten zapomniany już dzisiaj punkt widzenia przyjmował, że to oddziaływania elektromagnetyczne są bardziej fundamentalne od grawitacji. W uproszczonej wersji z końca XIX w. zakładano, że Wszechświat jest wypełniony tajemniczym eterem, wszechobecnym, a jednak niewidocznym, jak powietrze dla mieszkańców powierzchni Ziemi. Zjawiska elektromagnetyczne, takie jak światło czy fale radiowe, to zaburzenia eteru. Z kolei cząstki to węzły czy też wiry w eterze, a oddziaływanie pomiędzy nimi (skutek uboczny elektromagnetyzmu) to grawitacja. Ponieważ znano wówczas tylko jedną cząstkę – elektron – to takie podejście wydawało się obiecującą próbą unifikacji całej ówczesnej fizyki. Odkrycia Einsteina zmieniły sytuację: to grawitacja stała się bardziej fundamentalna.

Wszystko z geometrii?

W 1914 r., czyli jeszcze przed ukończeniem przez Einsteina ogólnej teorii względności, fiński fizyk Gunnar Nordström wpadł na pomysł, aby zunifikować elektromagnetyzm z grawitacją, dodając do czasoprzestrzeni dodatkowy wymiar przestrzenny. Kilka lat później matematyk Theodor Kaluza, nieświadomy prób Nordströma, przedstawił Einsteinowi własną, bardzo podobną wersję unifikacji.

Okazało się, że czterowymiarowy wszechświat (trzy wymiary przestrzenne i czas) wypełniony polem elektromagnetycznym jest w pewien sposób tożsamy z pięciowymiarowym pustym wszechświatem (cztery wymiary przestrzenne i czas). Oznaczało to, że za pomocą czystej geometrii można było opisać prawie całą ówczesną fizykę. Pomysł Kaluzy został dopracowany przez Oskara Kleina. Einstein początkowo entuzjastycznie podszedł do nowej teorii. Dlaczego więc nie odniosła ona sukcesu? Otóż piąty wymiar w teorii Kaluzy-Kleina jest w sposób sztuczny dokładnie tak „zwinięty”, aby prawie całkowicie ukryć się przed nami. To powoduje, że cała konstrukcja jest dosyć nienaturalna. Dodatkowo, w pierwszej połowie XX w. odkryto nowe cząstki i prędko zdano sobie sprawę, że grawitacja i elektromagnetyzm nie stanowią kompletnego opisu rzeczywistości. Pole elektromagnetyczne nie jest jedynym polem, które należy zgeometryzować. Teoria Kaluzy-Kleina w rozmaitych rozszerzonych wersjach (nawet dziesięć wymiarów przestrzennych) pojawiała się jeszcze w historii fizyki, ale nigdy nie zasłużyła na powszechną akceptację.

Główną przeszkodą w geometryzacji całej fizyki okazało się inne przełomowe odkrycie z początków XX w. – mechanika kwantowa. Świat cząstek elementarnych nie jest klasyczny, lecz kwantowy. Oznacza to, że wielkości fizyczne takie jak energia mogą przyjmować tylko określone wartości. Mechanika kwantowa umyka wszystkim naszym zdroworozsądkowym przyzwyczajeniom.

Fizycy wypracowali sposób na znajdowanie teorii kwantowych. Na przykład odpowiednia procedura (zwana kwantyzacją) pozwala stworzyć na podstawie klasycznej elektrodynamiki (teoria oddziaływania naładowanych cząstek i fotonów) elektrodynamikę kwantową. Być może pola fizyczne wyglądają na mniej fundamentalne od geometrii, lecz przynajmniej wiemy, jak je kwantować. Chociaż od samego początku istnienia ogólnej teorii względności Einstein rozważał konieczność opracowania kwantowej wersji swojej teorii, to do dziś, pomimo wielu prób i trwających wiele dziesięcioleci badań, takiej teorii nie znaleziono. Trudno zgeometryzować całą fizykę, jeśli ta okazała się w swej naturze kwantowa, a my nie wiemy, jak kwantować geometrię.

Samopoznające się atomy

Pomimo tych oczywistych trudności idea geometryzacji fizyki pojawiła się w historii fizyki w całej pełni jeszcze nie raz, m.in. za sprawą znanego eksperta od ogólnej teorii względności Johna Wheelera.

Wheeler w połowie lat 50. XX w. rozpoczął matematyczne badania obiektów zwanych geonami – fal grawitacyjnych lub elektromagnetycznych utrzymywanych w zwartej konfiguracji przez własną energię. Teoria grawitacji Einsteina dopuszcza istnienie obiektów tego typu, ale nie wiadomo, czy naprawdę istnieją one we Wszechświecie. Geon z daleka powinien wyglądać jak obiekt posiadający masę. Teoria Einsteina nie załamuje się wewnątrz geonu tak, jak dzieje się to we wnętrzu czarnych dziur. Wheeler rozpoczął swoje teoretyczne badania od obiektów klasycznych licząc na to, że jego studia doprowadzą go do geonów kwantowych, a te z kolei będzie można utożsamić z cząstkami elementarnymi. W ten sposób geometria pozwoliłaby zunifikować całą fizykę.

Niestety, rozważane geony okazały się niestabilne. Obliczenia należało powtórzyć w ramach kwantowej grawitacji, a tej teorii nie udało się odkryć. Program badawczy Wheelera zaczął chylić się ku upadkowi w latach 70. Mimo to trudno nie docenić atrakcyjności idei, która motywowała tę pracę. Czy można wyobrazić sobie coś piękniejszego niż Wszechświat, gwiazdy i ludzi utkanych wyłącznie z czasu i przestrzeni?

Upadek programu tej tzw. geometrodynamiki nie oznacza, że pomysł Wheelera nie był właściwy. Być może nasza wiedza nie dojrzała jeszcze po prostu do tego, by zmierzyć się z tą ideą. Uczeń Wheelera, noblista, Richard Feynman zdefiniował kiedyś fizyka jako ,,sposób”, w który atomy dowiadują się o atomach. Parafrazując jego słowa moglibyśmy powiedzieć, iż jeśli Wheeler ma rację, to fizyk jest ,,sposobem”, w jaki czas i przestrzeń poznają, że istnieją. ©

PRZESTRZENIE I ZAKRZYWIENIA

Żyjemy na zakrzywionej powierzchni dwuwymiarowej – powierzchni Ziemi. Planeta Ziemia znajduje się w trójwymiarowej przestrzeni kosmicznej, która sama, zgodnie z ogólną teorią względności, także może się zakrzywiać.

Trudno to sobie wyobrazić, ponieważ nie potrafimy „wzbić się ponad kosmos”, aby dostrzec jego krzywiznę. Możemy jednak wykryć to zakrzywienie, badając odstępstwa od znanej ze szkoły geometrii euklidesowej. Co więcej, zgodnie z ogólną teorią względności, czterowymiarowa czasoprzestrzeń także może ulegać zakrzywieniom (zarówno lokalnym, jak i globalnym), co objawia się wspomnianym „odeuklidesowieniem” przestrzeni oraz zaburzeniami upływu czasu (przykładowo, czas na powierzchni Ziemi płynie nieznacznie wolniej niż na orbicie). Zakrzywienie wpływa także na ruch obiektów fizycznych – wpływ ten, zgodnie z teorią Einsteina, to nic innego jak grawitacja.

Globalne zakrzywienia czasoprzestrzeni wiążą się z ewolucją całego kosmosu – wynikają między innymi z rozkładu mas we Wszechświecie i decydują o jego przyszłości (zob. infografika poniżej).©(P) TM, ŁK